2. Représentation des nombres complexes

Soit un nombre complexe

z =a +j b : forme algébrique

On peut le représenter avec des coordonnées polaires

Remarques:

Ce qui revient à : e^j0 = 1 ; e^jπ/2= j , et e^-jπ/2= -j et e^jπ = -1

Complexe conjugué : si z=a +jb= Z e ^jj

On utilise de préfèrence la notation cartésienne.

Soit deux nombres complexes : z₁= a+jb et z₂=c + jd alors z₁+z₂= (a + c)+j(b+d)

3.2 inverse d'un nombre complèxe

On utilise de préférence la notation polaire:soit le complexe y=Y e ^jβ tel que y=1/z

Alors : y=Y e ^jβ= 1⁄z = 1 /( Ze^jj ) = 1/( Z).e^-jj On en déduit que : Y = 1 / Z et β=-φ

Si z =[Z;φ] alors y=1/z= [1/Z;-φ]

3.3 Produit et division de deux nombres complexes

On utilise de préférence la notation polaire.

Soient deux complèxes:z₁=Z₁ e^{(j φ₁)} et z₂=Z₂ e^{(j φ₂)} alors le produit : z₁. z₂=Z₁.Z₂e^{j(φ₁+φ₂)}

et le rapport z₁/z₂ = Z₁/Z₂.e^{j (φ₁- φ₂)}

4. Représentation complexe des grandeurs électriques

4.1 Tension

Comme pour la représentation de Fresnel, le module est la valeur efficace U et l'argument la phase à l'origine θ_u .

équation horaire	écriture exponentielle	écriture polaire
u(t)= U√2 sin(ωt+θu)	U=U.ejθu	U =[U,θu]
i(t)= I√2sin(ωt+θi)	I=I.ejθi	I =[I,θi]

Si on considère un dipôle d'impédance z .

On exprime une impédance complexe par la relation : z= Z e^jj

Z estle module de l'impédance en ohms (W)

j: est le déphasage provoquée par le dipôle entre la tension u aux bornes du dipôle et le courant i qui le traverse (en radians - rad).

Ce qui donne pour les dipôles élémentaires R, L et C

Tableau des impédances complexes élémentaires

Dipôle\Impdénace	Forme exponentielle	forme polaire
Résistance ( R)	zR= R	zR=[R;0]
Inductance(L)	zL= jLω	zL=[Lω;π/2]
Condensateur (C)	zC= -j/(C .ω)	zC=[1/(C.ω);-π/2]

L'admittance y d'un dipôle est l'inverse de l'impédance z de ce même dipôle.

Tableau des admittances complèxes élémentaires

Dipôle\admittance	Forme exponentielle	forme polaire
Résistance ( R)	yR= 1/R	yR=[1/R;0]
Inductance(L)	yL= -j/Lω	yL=[1/Lω;-π/2]
Condensateur (C)	yC= j.C .ω	zC=[C.ω;+π/2]

 

5.Associations de dipôles

5.1 Principe

On généralise aux impédances complexes ce que l'on connaît déjà pour la résistance.

Si les dipôles sont en séries, l'impédance équivalente est la somme des impédances.

z = z₁+z₂+z₃

Si les dipôles sont en parallèles, l'admittance équivalente est la somme des admittances.

y= y₁+y₂+y₃

5.2 Circuit (R,L) série

L'impédance équivalente complexe est :

L'impédance physique est alors :

et :

5.3 Circuit (R,L,C) série

L'impédance équivalente complexe est :

 

L'impédance équivalente complexe est :

L'impédance physique (celle que l'on mesure) est alors :

5.4 La résonance

Il y a une fréquence particulière f₀ dite fréquence de résonance, c'est la fréquence qui vérifie l'équation Im(z) = 0 (partie imaginaire de l'impédance z nulle).

Pour un circuit (R,L,C) série cette fréquence f₀ est telle que L.C.ω₀²= 1 ( avec ω₀= 2π.f₀).

Pour cette fréquence on risque d'avoir des surtensions aux bornes de l'inductance L et du condensateur C, en effet à la résonance l'intensité du courant dans le circuit n'est limitée que par la résistance car z= R.

 

5.5 Circuit (R,L,C) parallèle

L'admittance équivalente complexe est :

L'admittance physique est alors:

Et l'impédance physique est alors :