THEOREME GENERAUX D'ELECTRICITE
Exercices

THEOREMES GENERAUX D'ELECTRICITE

Tous les thèorèmes qu'on va voir sont valables en courant continu et aussi en régime sinusoïdal mais avec des dipôles linéaires.

1) Théorème de Millman

Ce théorème très utile, il permet de calculer le potentiel d'un point sur un circuit, prenons un exemple assez simple, c'est le calcul du potentiel

V0 sur circuit de la figure 1.

Figure 1

En appliquant la loi des noeuds on peut écrire : i1+i2 +i3 = 0 (1)

En appliquant la loi d'Ohm on a :

V1 - V0 = VR1= R1.i1et V2 - V0 = VR2= R2.i2 et en fin V3 - V0 = VR3= R3.i3

On peut aussi déduire les intensités : i1 =( V1-V0 ) / R1 et i2 =( V2-V0 ) / R2 idem aussi pour i3 =( V3-V0 ) / R3 .

En sommant ces trois intensités on a : i1+i2+i3 = ( V1-V0 )/R1+( V2-V0 )/R2 +( V3-V0 )/R3= 0

En mettant V0 en facteur on obtient :

Puis finalement on arrive à la relation :

Ce théorème se généralise dans le cas des impédances, quelque soit le nombre de branches.

Formule générale :

Zk et Yk sont respectivement l'impédance et l'admittance du dipôle de la branche k , et Ek est

la F.é.m du générateur de tension de la branche k.

2) Théorème de Thevenin

Soit un réseau électrique ( dipôle actif linéaire) :

Figure 1

Le but recherché est de remplacer tout réseau électrique (circuit linéaire) , qui alimente par les bornes A et B un dipôle D, par un générateur de tension idéal ETH en série avec une résistance RTH, c'est ce qu'on appelle le modèle équivalent de Thevenin ( M.E.T).

La fém ETH du générateur est égale à la ddp mesurée (calculée) entre A et B quand le dipôle est débranché( c'est à dire c'est la tension à vide U0 existante entre les points A et B pour I = 0).

La résistance RTH est égale à la résistance mesurée (ou calculée) entre A et B quand le dipôle D est débranché, on remplace virtuellement toute source de tension par un court-circuit et toute source de courant par un circuit ouvert.

M.E.T

Le M.E.T sera ensuite utilisé pour éffectuer tout genre de calculs sur le circuit de départ.

3)Théorème de Norton

Le but recherché est de remplacer tout réseau électrique (circuit linéairede la figure 1) , qui alimente par les bornes A et B un dipôle D, par un générateur de courant idéal IN en parallèle avec une résistance RN.

L'intensité IN du générateur est égale au courant de court-circuit entre A et B quand le dipôle D est débranché ( c'est à dire c'est le courant ICCcirculant entre les points A et B pour U = 0), c'est ce qu'on appelle le modèle équivalent de NORTHON ( M.E.N).

La résistance RN est égale à la résistance mesurée (ou calculée) entre A et B quand le dipôle D est débranché, on remplace virtuellement toute source de tension par un court-circuit et toute source de courant par un circuit ouvert.

M.E.N ( avec la conductance GN = 1 / RN)

Le M.E.N sera ensuite utilisé pour éffectuer tout genre de calculs sur le circuit de départ.

4)Théorème de superposition

C'est un théorème qui est utilisé lorsqu'une charge est alimentée par plusieurs sources( dipôles actifs et linéaires)de tension ou de courant idépendantes: Si la charge est alimentée par plusieurs sources indépendantes le courant traversant cette charge est la somme des courants dus à la contribution de chacune des sources.

On peut démontrer aussi que la tension aux bornes de la charge est égale à la somme des tensions calculées aux bornes de cette charge quand chaque source agit seule.

Il faut passiver( éteindre) toutes les sources sauf une et effectuer le calcul la grandeur : tension aux bornes de la charge ( ou l'intensité dans la branche de la charge) , refaire l'opération jusqu'qu'il ait autant de grandeurs calculées que de sources indépendantes.

Pour le cas ci-dessus on peut écrire que : I1 = I'1+ I"1 et I2 = I'2+ I"2 et I3 = I'3+ I"3 .

Remarque: Si un ou plusieurs des dipôles actifs linéaires du circuit comportent dses sources de courant, il faut les remplacer lors de l'application du théorème, par un circuit ouvert; les sources de tension sont à remplacer par un court-circuit.

5)Théorème de Kennely

Ce théorème permet de déterminer les éléments d'un schéma équivalent « triangle » à partir d'un schéma donné sous une forme « étoile ».

On passe d'un montage triangle à un montage étoile, en calculant les résistances rA rB et rC :

La transformation inverse (Etoile-Triangle) est utlisée dans le domaine des réseaux triphasés. on notera l'admittance (ou conductance) Yk= 1/Rk et y k = 1/rk.

6) Principe de diviseurs de tension et de courant

a) Diviseur de Tension

Ce principe est utilisé pour calculer des tensions aux bornes des dipôles placés en série ( donc tous parcourus par la même intensité I).

-cas de deux dipôles placés en série :

On peut écrire que U2 = R2 .I , avec I = U /( R1 +R2) On en déduit :

-On peut généraliser le principe à n dipôles placés en série, on détermine la tension uk avec la relation ci-dessous:

b)Diviseur de courant

Ce principe est utilisé pour calculer l'intensité du courant parcourant des dipôles placés en dérivation( donc tous sont soumis à la même ddp).

-cas de deux dipôles placés en dérivation

On a deux résistances R1= 1/G1 et R2= 1/G2 placés en dérivation ( G: conductance)

On peut écrire que : U=I1 / G1 = I2/G2 = I/( G1 +G2) , on en déduit que :

-On peut généraliser le principe à n dipôles placés en dérivation, on détermine l'intensité Ikdans la branche k avec la relation ci-dessous: